Beispiel: Der freie Fall eines Schraubendrehers

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Das Beispielvideo ist 0,9 Sekunden lang und mit 50 Bildern pro Sekunde aufgenommen. Unten rechts lehnt ein Blatt aus einem A4-Collegeblock an der Wand – das ist unser Maßstab.

1. Beispielvideo schrauber.mp4 herunterladen (640 KB).
2. StroboGraph öffnen und auf „Video importieren“ tippen – oder das Video einfach auf die Seite ziehen. StroboGraph legt dafür ein neues Projekt an und öffnet es.
3. Die Frage „Automatisch auswerten?“ mit „Nein, von Hand“ beantworten: Dieses Beispiel zeigt jeden Schritt einzeln. Bei eigenen Videos nimmt „Durchsuchen“ viel Arbeit ab.

Für eigene Videos: ruhige Kamera, gleichmäßiger Hintergrund, gut sichtbares Objekt und eine hohe Bildrate. Mehr dazu unter Gute Videos.

Schneiden: nur der freie Fall

Ausgewertet wird nur der Teil des Videos, in dem der Schraubendreher frei fällt. Bis Bild 3 hängt er noch, in Bild 4 wird er losgelassen, nach Bild 22 trifft er auf den Boden.

1. Im Reiter Schneiden mit › (oder der Pfeiltaste →) zu Bild 4 gehen und „Anfang hier“ tippen.
2. Weiter zu Bild 22 gehen und „Ende hier“ tippen.

Kalibrieren: Maßstab und Koordinatensystem

Damit StroboGraph aus Bildpunkten Meter machen kann, braucht es eine bekannte Länge im Bild. Das Blatt stammt aus einem A4-Collegeblock und ist an der Perforation abgerissen. Seine Breite – die Oberkante im Bild – beträgt deshalb nicht 21 cm, sondern rund 20,25 cm.

1. Reiter Kalibrieren öffnen. Er führt in zwei Abschnitten durch die Einstellung.
2. ① Maßstab: Die beiden blauen Griffe genau auf die linke und rechte obere Ecke des Blatts ziehen. Dazu mit zwei Fingern (oder dem Mausrad) weit ins Bild zoomen. Bei „Länge des Maßstabs“ 0,2025 m eintragen. Daneben steht, wie viele Pixel der Maßstab im Bild lang ist.
3. ② Koordinatensystem: Den gelben Ursprung auf den Griff des Schraubendrehers ziehen. Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach oben – so bleibt es. Die Achsen tragen eine Skala in Metern.

Schräg gefilmte Bewegungen entzerrt die Perspektivkorrektur; mit dem ausgedruckten Kalibrierblatt stellt StroboGraph sie auf Wunsch selbst ein – siehe Werkzeuge: Kalibrieren. Für Fahrbahnwagen gibt es die Wagenmarke: seitlich am Wagen ist sie Maßstab genau in seiner Ebene, und StroboGraph verfolgt den Wagen an ihr von selbst.

Verfolgen: den Schraubendreher markieren

1. Reiter Verfolgen öffnen. Das Video steht auf Bild 4, dem Anfang des Ausschnitts. Der Schalter „Automatisch“ ist eingeschaltet.
2. Auf den Griff des Schraubendrehers tippen. StroboGraph legt die Spur A an und setzt den ersten Punkt. Der Kreis um den Punkt zeigt den Ausschnitt, nach dem gesucht wird.
3. „Ab hier verfolgen“ tippen: StroboGraph sucht den Griff nun in jedem weiteren Bild.
4. Nach etwa einer Sekunde ist die Spur fertig: 19 Punkte, einen pro Bild. StroboGraph wechselt dann von selbst in den Reiter Diagramm und spielt den Ausschnitt in einer Schleife ab – mit Pfeilen für Geschwindigkeit und Beschleunigung im Video. ▶/❚❚ unter dem Diagramm hält an. Zurück in Verfolgen steht der grüne Kasten „Automatische Verfolgung abgeschlossen.“

Mehrere Objekte, Bild-für-Bild-Markieren von Hand und das Mitverfolgen von Drehungen (Winkel φ und Winkelgeschwindigkeit ω) stehen unter Werkzeuge: Verfolgen.

Diagramm und Regression

Im Reiter Diagramm zeigt StroboGraph automatisch die Größe, die sich am stärksten ändert – hier die Höhe y über der Zeit t. Ein Tipp auf einen Punkt springt im Video zum passenden Bild.

1. Unter dem Diagramm auf den Regressions-Knopf tippen; er zeigt die Größe, hier y(t). Die Liste zeigt jede Regression mit ihrer Formel und einer kurzen Erklärung.
2. „Quadratisch“ wählen. Das Ergebnis erscheint auf einer kleinen Karte: die Gleichung und darunter der wichtigste Wert, hier die Beschleunigung. Auf großen Bildschirmen liegt die Karte in einer Ablage neben oder unter dem Diagramm, auf dem Handy im Diagramm.
3. Ein Tipp auf die Karte (oder +) klappt sie auf: oben die allgemeine Formel (antippen gibt einen eigenen Namen, der davor steht), darunter alle Parameter und R². „Bereich“ vor R² schränkt die Regression auf einen Teil der Punkte ein: Man zieht im Diagramm über die Punkte, die passen sollen – hier bleibt sie ganz –, die kleine Ecke unten rechts ändert durch Ziehen die Größe der Karte – oder einfach zwei Finger auf der Karte –, − klappt zu, × entfernt die Regression.

Zugeklappt zeigt die Karte zwei Zeilen: die Gleichung mit den gemessenen Zahlen und den Wert, auf den es ankommt – bei der Parabel die Beschleunigung, bei der Geraden die Steigung, bei Schwingungen die Periode T, bei der Exponentialfunktion die Halbwertszeit T½ oder Verdopplungszeit T₂:

y(t) = ½·(−9,81)·t² − 0,056·t
a = (−9,81 ± 0,15) m/s²

Aufgeklappt (+) steht darüber die allgemeine Form, darunter die übrigen Parameter und R²:

s(t) = ½·a·t² + v₀·t + s₀
v₀ = (−0,056 ± 0,006) m/s
s₀ = (0,0000 ± 0,0004) m
R² = 0,9999904 · passt sehr gut

Die Unsicherheit hinter ± fasst zwei Anteile zusammen: die Streuung der Messpunkte um die Kurve und die Unsicherheit des Maßstabs, der alle Längen gemeinsam streckt (siehe Auswertung). Sie bestimmt, wie viele Stellen dastehen: Sie wird auf eine Ziffer gerundet, auf zwei, wenn sie mit 1 beginnt, und der Wert auf dieselbe Stelle. Nullen am Ende zählen mit – 6,00 ist genauer als 6. Ist ein Wert kleiner als seine Unsicherheit, ist er im Rahmen der Messgenauigkeit null: Dann steht dort wie hier s₀ = (0,0000 ± 0,0004) m, und der Summand fehlt in der Gleichung – die gemessenen Ziffern wären nur Rauschen.

Je kleiner R², desto blasser die Kurve: ab R² = 0,99 voll sichtbar, bei 0,9 halb, ab 0,8 und darunter mit 40 % – eine schlechte Regression bleibt sichtbar, drängt sich aber nicht auf.

Zweite y-Achse: Geschwindigkeit dazu

Über „+ 2. Achse“ oben rechts kommt eine zweite y-Achse hinzu, hier die Geschwindigkeit vy, in Grün. Die Nulllinien beider Achsen liegen auf gleicher Höhe. Im Regressions-Knopf lässt sich wählen, für welche Achse die Regression gilt. Darunter fügt „+ 3. Achse“ eine dritte y-Achse hinzu, etwa für die Beschleunigung ay: Ihre Zahlen stehen rechts außen in Rot, und auch für sie gibt es Regressionen. So stehen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung in einem Bild.

Daten und Fits: Namen, Farben, Sichtbarkeit

Der Listen-Knopf neben dem Regressions-Knopf zeigt alle Messreihen und Regressionen. Ein Tipp auf den Farbkreis wählt eine andere Farbe – aus der Palette oder frei. Die Farbe einer Spur gilt überall, auch im Video; eine Regression kann eine eigene Farbe bekommen. Ein Tipp auf den Namen benennt um, das Auge blendet im Diagramm aus. Messreihen zeigen nur ihre Punkte; ein eigener Knopf je Reihe verbindet sie mit einer Linie.

Mit ▶ läuft das Video zusammen mit dem Diagramm, das Tempo stellt der Knopf daneben ein. Zoomen im Diagramm, Pfeile für v und a im Video, Größe, Bereich und Ablage der Karten: siehe Werkzeuge: Diagramm.

Exportieren und weitergeben

• CSV (Startseite, Menü ⋮ am Projekt): alle Messwerte – t, x, y, vx, vy, ax, ay – für Tabellenkalkulation oder Python, mit Semikolon und Dezimalkomma.
• Projekt exportieren (Startseite, Menü ⋮ am Projekt): eine .strobograph-Datei mit Video und kompletter Auswertung. Sie lässt sich in StroboGraph im Browser und in der Android-App wieder öffnen.

Physikalische Auswertung: Wie genau ist das?

Der Literaturwert ist g = 9,81 m/s² und liegt innerhalb der Unsicherheit der Messung – mit einem Handyvideo und einem Blatt Papier als Maßstab. Es lohnt sich der Blick darauf, was das Ergebnis am stärksten beeinflusst:

• Der Maßstab: Die gemessene Beschleunigung ist direkt proportional zur eingetragenen Länge. Die Breite des abgerissenen Blatts kennen wir nur auf wenige Millimeter; schon 2 mm ändern a um 1 %. Hätten wir die A4-Breite von 21 cm angenommen, kämen 10,2 m/s² heraus – fast 4 % zu viel. Ein Pixel daneben an einem Ende des Maßstabs macht 0,6 % aus.
• Parallaxe: Das Blatt lehnt an der Wand, der Schraubendreher fällt ein Stück davor – näher an der Kamera, wo alles etwas größer erscheint. Das führt zu einer leicht zu großen Beschleunigung.
• Der Ausschnitt: Ruhende Bilder vor dem Loslassen oder das Aufprallen am Ende verfälschen die Parabel. Deshalb haben wir genau auf die Bilder 4 bis 22 geschnitten.

Ein hohes R² zeigt übrigens nur, dass die Punkte gut auf einer Parabel liegen – nicht, dass der Maßstab stimmt. Mit 21 cm als Länge wäre R² genauso gut, die Beschleunigung aber falsch.

Wie genau ist a wirklich? Die Unsicherheit, durchgerechnet

1. Das Modell

Jede Länge in StroboGraph entsteht als Strecke in Pixeln mal dem Maßstab k = L / L_px (echte Länge durch Länge im Bild). Ortsangaben, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind deshalb alle proportional zu k. Ein relativer Fehler von k überträgt sich unverändert auf a. Für unabhängige Fehlerquellen addieren sich die relativen Unsicherheiten quadratisch (Gaußsche Fehlerfortpflanzung):

(σ_a/a)² = (σ_stat/a)² + (σ_Lpx/L_px)² + (σ_L/L)² + (σ_z/Z)²

Die vier Summanden: die Streuung der Punkte um die Kurve (statistisch, aus der Regression), die Unsicherheit der Maßstabslänge im Bild, die der echten Länge und die der Lage der Bewegungsebene bei einem Kameraabstand Z. Zeiten, Raten und Winkel (T, ω, δ, k, φ) hängen nicht vom Maßstab ab – für sie zählt nur die Streuung.

Unsere Annahmen sind Höchstabweichungen („höchstens 1 Pixel daneben“, „höchstens 5 cm davor oder dahinter“). Nach dem internationalen Leitfaden zur Messunsicherheit (GUM) entspricht eine solche Grenze ±g bei gleich wahrscheinlichen Werten einer Standardunsicherheit σ = g/√3. Damit wird gerechnet.

2. Die einzelnen Beiträge

Woher der letzte Beitrag kommt: Eine Kamera bildet wie eine Lochkamera ab. Was näher ist, erscheint größer – genau im Verhältnis der Abstände. Fällt der Schraubendreher Δz vor dem Blatt, auf dem der Maßstab liegt, sind alle seine Längen um den Anteil Δz/Z falsch. Bei Z = 2 m und Δz = 5 cm sind das bis zu 2,5 %, als Standardunsicherheit 2,9 cm / 2 m = 1,44 %.

3. Das Ergebnis für a

Mit dem Maßstab von Hand, wie im Beispiel:

Mit dem Kalibrierblatt bei Z = 2 m: 1,5 %, also ebenfalls (−9,81 ± 0,15) m/s² – fast dasselbe, denn Pixel-, Druck- und Eingabefehler sind gegen die Lage der Ebene klein. In allen Fällen liegt 9,81 m/s² deutlich innerhalb der Unsicherheit: Die Messung bestätigt den Ortsfaktor. Würde man die Grenzen direkt als σ nehmen statt durch √3 zu teilen, wären alle Unsicherheiten etwa 1,7-mal so groß (bei 2 m rund ±0,26 m/s²).

4. Was daraus folgt

• Der Abstand zur Ebene entscheidet. Pixel, Drucker und Maßband tragen zusammen weniger als ein halbes Prozent bei – die Frage, ob sich das Objekt genau in der Ebene des Maßstabs bewegt, bis zu drei Prozent. Ein noch so sorgfältig gesetzter Maßstab hilft nicht, wenn er 5 cm hinter der Bewegung hängt.
• Weiter weg filmen hilft. Bei 3 m Abstand ist derselbe Versatz von 5 cm nur noch ein Drittel so schlimm wie bei 1 m. Lieber die Kamera weiter weg stellen und das Video groß genug aufnehmen.
• Die Unsicherheit gehört zum Ergebnis. „a = −9,81 m/s²“ allein ist keine Aussage; „a = (−9,81 ± 0,15) m/s²“ schon: 9,81 m/s² liegt darin, die Messung passt.

Den Abstand trägt man unter Kalibrieren → Erweitert ein; ohne Eintrag gelten 2 m. Bei einem deutlich schräg (ab 15°) aufgehängten Kalibrierblatt und bei Videos, die mit der App aufgenommen wurden, berechnet StroboGraph ihn selbst – aus der perspektivischen Verzerrung des Blatts bzw. aus der Brennweite der Kamera.